Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{- x}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.3

Combina $e^{- x}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.5

Diferencia.

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Paso 1.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 1.5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 1.5.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 1.5.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

Paso 1.5.3.4

Reordena los términos.

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Paso 1.7.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Paso 1.7.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Paso 1.7.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Paso 1.7.2.4

Multiplica $- \frac{1}{e} \cdot 0$ .

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Paso 1.7.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

Paso 1.7.2.4.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Paso 1.7.2.5

Mueve $e^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Paso 1.7.3

Suma $0$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{e}$ y un punto dado $(1, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.2

Simplifica $\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Paso 2.3.2.2

Combina $\frac{1}{e}$ y $x$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Paso 2.3.2.3

Combina $\frac{1}{e}$ y $- 1$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Paso 2.3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

Paso 3