Cálculo Ejemplos

$\int p {(p + 9)}^{5} d p$

Paso 1

Sea $u = p + 9$ . Entonces $d u = d p$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = p + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d p}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $p + 9$ .

$\frac{d}{d p} [p + 9]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $p + 9$ con respecto a $p$ es $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [9]$ .

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [9]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d p} [9]$

Paso 1.1.4

Como $9$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $9$ con respecto a $p$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (u - 9) u^{5} d u$

Paso 2

Multiplica $(u - 9) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} - 9 u^{5} d u$

Paso 3

Multiplica $u$ por $u^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Multiplica $u$ por $u^{5}$ .

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Paso 3.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{5} - 9 u^{5} d u$

Paso 3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 5} - 9 u^{5} d u$

Paso 3.2

Suma $1$ y $5$ .

$\int u^{6} - 9 u^{5} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{6} d u + \int - 9 u^{5} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int - 9 u^{5} d u$

Paso 6

Dado que $- 9$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 9$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} u^{7} + C - 9 \int u^{5} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C - 9 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{1}{7} u^{7} - 9 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $- 9$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{- 9}{6} u^{6} + C$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $- 9$ y $6$ .

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{3 (- 3)}{6} u^{6} + C$

Paso 8.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2} u^{6} + C$

Paso 8.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2} u^{6} + C$

Paso 8.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{- 3}{2} u^{6} + C$

Paso 8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{7} u^{7} - \frac{3}{2} u^{6} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $p + 9$ .

$\frac{1}{7} {(p + 9)}^{7} - \frac{3}{2} {(p + 9)}^{6} + C$