Cálculo Ejemplos

$\int t \sin^{2} (t) d t$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = \sin^{2} (t)$ .

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - \int \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\int \frac{1}{2} t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} \int t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

Paso 5

Dado que $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- \frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (2 t) d t)$

Paso 6

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Paso 8.2

Combina $\sin (2 t)$ y $\frac{1}{4}$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Paso 9

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

Paso 10.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Paso 10.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Paso 10.2

Simplifica.

$\frac{t^{2}}{2} - t \frac{\sin (2 t)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Combina $\frac{\sin (2 t)}{4}$ y $t$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Paso 10.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{t^{2}}{2}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Paso 10.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Paso 10.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{8}) \cos (u)) + C$

Paso 10.3.5

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{1}{8} \cos (u)) + C$

Paso 10.3.6

Combina $\frac{1}{8}$ y $\cos (u)$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) + C$

Paso 10.3.7

Para escribir $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Paso 10.3.8

Combina $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} + \frac{- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Paso 10.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Paso 10.3.10

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (2 t)}{8})}{4} + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Paso 12.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 (- 1) \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 \cdot - 1 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Paso 12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 (- 1) \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Paso 12.3.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Paso 12.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Paso 12.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (2 t) t$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Paso 13.2

Factoriza $- 1$ de $- t^{2}$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - (t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Paso 13.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (2 t) t) - (t^{2})$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Paso 13.4

Factoriza $- 1$ de $- \frac{\cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

Paso 13.5

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

Paso 13.6

Reescribe $- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ como $- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

Paso 13.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Paso 13.8

Reordena los factores en $- \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Paso 13.9

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{4} (t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 t)) + C$