Cálculo Ejemplos

$\int_{a}^{b} 3 e^{2 t} d t$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{a}^{b} e^{2 t} d t$

Paso 2

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 a$

Paso 2.3

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 b$

Paso 2.4

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2 a$

$u_{upper} = 2 b$

Paso 2.5

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 \int_{2 a}^{2 b} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{2 a}^{2 b} \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} e^{u}]_{2 a}^{2 b}$

Paso 7

Evalúa $e^{u}$ en $2 b$ y en $2 a$ .

$\frac{3}{2} (e^{2 b} - e^{2 a})$