Cálculo Ejemplos

$\int \arcsin (3 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arcsin (3 x)$ y $d v = 1$ .

$\arcsin (3 x) x - \int x \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{x \cdot 3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Paso 2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\arcsin (3 x) x - (3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x)$

Paso 4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Paso 5

Sea $u = 1 - 9 x^{2}$ . Entonces $d u = - 18 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Deja $u = 1 - 9 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Diferencia $1 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 5.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$0 - 18 x$

Paso 5.1.4

Resta $18 x$ de $0$ .

$- 18 x$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 18} d u$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{18}) d u$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{18}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 18} d u$

Paso 6.3

Mueve $18$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\arcsin (3 x) x - 3 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u)$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\arcsin (3 x) x + 3 \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{18}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{18}$ fuera de la integral.

$\arcsin (3 x) x + 3 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 10

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Combina $\frac{1}{18}$ y $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 10.1.2

Cancela el factor común de $3$ y $18$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 10.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $18$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 10.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 10.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 10.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 10.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 10.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 10.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 10.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 12

Reescribe $\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 9 x^{2}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{{(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{3} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$