Cálculo Ejemplos

$\int arccsc (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = arccsc (x)$ y $d v = 1$ .

$arccsc (x) x - \int x (- \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$arccsc (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$arccsc (x) x - - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$arccsc (x) x + 1 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Paso 4.2

Multiplica $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$ por $1$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Paso 5

Sea $x = \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Simplifica $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Paso 6.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 6.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $\tan (t)$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $\tan (t)$ de $\sec (t) \tan (t)$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$arccsc (x) x + \int \sec (t) d t$

Paso 7

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (x)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$