Cálculo Ejemplos

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Paso 1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Paso 1.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $2$ fuera del exponente.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Paso 1.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Paso 1.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $2$ y en $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Forma decimal:

$0.82842712 \dots$