Cálculo Ejemplos

$\int (10 x^{4} - 4) \cos (2 x^{5} - 4 x) d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x^{5} - 4 x$ . Entonces $d u = (10 x^{4} - 4) d x$ , de modo que $\frac{1}{10 x^{4} - 4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x^{5} - 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x^{5} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 4 x]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{5} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{5}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 x^{4} - 4 \cdot 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$10 x^{4} - 4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \cos (u) d u$

Paso 2

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\sin (u) + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{5} - 4 x$ .

$\sin (2 x^{5} - 4 x) + C$