Cálculo Ejemplos

$\int 3 x^{2} - \sqrt{5 x} + 2 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 x^{2} d x + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Paso 2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x^{2} d x + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Paso 5

Sea $u = 5 x$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 5.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u + \int 2 d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u + \int 2 d x$

Paso 6.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u + \int 2 d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u) + \int 2 d x$

Paso 8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 2 d x$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 x + C$

Paso 11

Simplifica.

$x^{3} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{15} + 2 x + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$x^{3} - \frac{2 {(5 x)}^{\frac{3}{2}}}{15} + 2 x + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$x^{3} - \frac{2}{15} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 x + C$