Cálculo Ejemplos

$\frac{q x + r}{s x + t}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = q x + r$ y $g (x) = s x + t$ .

$\frac{(s x + t) \frac{d}{d x} [q x + r] - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $q x + r$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [q x] + \frac{d}{d x} [r]$ .

$\frac{(s x + t) (\frac{d}{d x} [q x] + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $q$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $q x$ con respecto a $x$ es $q \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(s x + t) (q \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(s x + t) (q \cdot 1 + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $q$ por $1$ .

$\frac{(s x + t) (q + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $r$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $r$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(s x + t) (q + 0) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2.6

Suma $q$ y $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $s x + t$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [s x] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (\frac{d}{d x} [s x] + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $s$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $s x$ con respecto a $x$ es $s \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s \cdot 1 + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $s$ por $1$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2.11

Como $t$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $t$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s + 0)}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 2.12

Suma $s$ y $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{s x q + t q - (q x + r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{s x q + t q + (- (q x) - r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{s x q + t q - (q x) s - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 3.4

Combina los términos opuestos en $s x q + t q - (q x) s - r s$ .

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Paso 3.4.1

Reordena los factores en los términos $s x q$ y $- (q x) s$ .

$\frac{q s x + t q - q s x - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Resta $q s x$ de $q s x$ .

$\frac{t q + 0 - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Suma $t q$ y $0$ .

$\frac{t q - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$\frac{q t - r s}{{(s x + t)}^{2}}$