Cálculo Ejemplos

$\int \frac{t^{5}}{\sqrt[3]{1 + t^{6}}} d t$

Paso 1

Sea $u = 1 + t^{6}$ . Entonces $d u = 6 t^{5} d t$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = t^{5} d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + t^{6}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + t^{6}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{6}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + t^{6}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{6}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{6}]$

Paso 1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{6}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$0 + 6 t^{5}$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $6 t^{5}$ .

$6 t^{5}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 6} d u$

Paso 2.2

Mueve $6$ a la izquierda de $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{6} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ como $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{6 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{3}{12} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

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Paso 6.2.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{12} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + t^{6}$ .

$\frac{1}{4} {(1 + t^{6})}^{\frac{2}{3}} + C$