Cálculo Ejemplos

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{1}{x}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{1}{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Paso 2.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{u}$ .

$\int - e^{u} u d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int e^{u} u d u$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = e^{u}$ .

$- (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Paso 6

Simplifica.

$- (u e^{u} - e^{u}) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$- (\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - - e^{\frac{1}{x}} + C$

Paso 8.3

Multiplica $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

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Paso 8.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} + C$

Paso 8.3.2

Multiplica $e^{\frac{1}{x}}$ por $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} + C$