Cálculo Ejemplos

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

Paso 1

Sea $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ como $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ .

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Paso 1.1.2.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.2.1.1

Reescribe $4 t^{2}$ como ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

Paso 1.1.2.1.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

Paso 1.1.2.1.4

Reescribe el polinomio.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

Paso 1.1.2.1.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2 t$ y $b = 1$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

Paso 1.1.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Paso 1.1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.7

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.8

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $4$ por $4^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $4$ por $4^{2}$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Paso 1.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Paso 1.3.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

Paso 1.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

Paso 1.3.4

Suma $64$ y $16$ .

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

Paso 1.3.5

Suma $80$ y $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{81}$

Paso 1.3.6

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

Paso 1.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$u_{lower} = 9$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $4$ por $49$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

Paso 1.5.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

Paso 1.5.4

Suma $196$ y $28$ .

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

Paso 1.5.5

Suma $224$ y $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{225}$

Paso 1.5.6

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

Paso 1.5.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$u_{upper} = 15$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $u$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{2} u^{2}$ en $15$ y en $9$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $225$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Paso 5.2.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

Paso 5.2.4

Multiplica $81$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.5

Combina $- 81$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

Paso 5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

Paso 5.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

Paso 5.2.8

Resta $81$ de $225$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $144$ y $2$ .

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Paso 5.2.9.1

Factoriza $2$ de $144$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

Paso 5.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Paso 5.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

Paso 5.2.9.2.4

Divide $72$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 72$

Paso 5.2.10

Combina $\frac{1}{2}$ y $72$ .

$\frac{72}{2}$

Paso 5.2.11

Cancela el factor común de $72$ y $2$ .

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Paso 5.2.11.1

Factoriza $2$ de $72$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

Paso 5.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

Paso 5.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{36}{1}$

Paso 5.2.11.2.4

Divide $36$ por $1$ .

$36$

Paso 6