Cálculo Ejemplos

$\int 4 \cos^{3} (x) d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \cos^{3} (x) d x$

Paso 2

Factoriza $\cos^{2} (x)$ .

$4 \int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$4 \int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Paso 4

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 \int 1 - u^{2} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$4 (u + C + \int - u^{2} d u)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (u + C - \int u^{2} d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$4 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Paso 9

Simplifica.

$4 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$4 (\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x)) + C$