Cálculo Ejemplos

$\int_{- 8}^{0} x e^{- 4 x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 4 x}$ .

$x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $e^{- 4 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{e^{- 4 x}}{4})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - (- \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + 1 (\frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x$

Paso 5

Sea $u = - 4 x$ . Entonces $d u = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 5.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot - 8$

Paso 5.3

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$u_{lower} = 32$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 0$

Paso 5.5

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 32$

$u_{upper} = 0$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Paso 6.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} - \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- \int_{32}^{0} \frac{e^{u}}{4} d u)$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} d u))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Paso 9.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $- \frac{x e^{- 4 x}}{4}$ en $0$ y en $- 8$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Paso 11.2

Evalúa $e^{u}$ en $0$ y en $32$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$- \frac{0 e^{0}}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$- \frac{0}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 11.3.4.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$- \frac{4 (0)}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.4.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{0}{1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.6

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$0 + \frac{- 8 e^{32}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.7

Cancela el factor común de $- 8$ y $4$ .

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Paso 11.3.7.1

Factoriza $4$ de $- 8 e^{32}$ .

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.7.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 (1)} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 \cdot 1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{- 2 e^{32}}{1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.7.2.4

Divide $- 2 e^{32}$ por $1$ .

$0 - 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.8

Resta $2 e^{32}$ de $0$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Paso 11.3.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} (1 - e^{32})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} \cdot 1 - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Paso 12.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Paso 12.1.3

Multiplica $- \frac{1}{16} (- e^{32})$ .

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Paso 12.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + 1 (\frac{1}{16}) e^{32}$

Paso 12.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} e^{32}$

Paso 12.1.3.3

Combina $\frac{1}{16}$ y $e^{32}$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{e^{32}}{16}$

Paso 12.2

Para escribir $- 2 e^{32}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$- 2 e^{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Paso 12.3

Combina $- 2 e^{32}$ y $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Paso 12.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Paso 12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32} - 1}{16}$

Paso 12.6

Multiplica $16$ por $- 2$ .

$\frac{- 32 e^{32} + e^{32} - 1}{16}$

Paso 12.7

Suma $- 32 e^{32}$ y $e^{32}$ .

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Forma decimal:

$- 152990735353944$

Paso 14