Cálculo Ejemplos

$\int 24 t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Paso 1

Dado que $24$ es constante con respecto a $t$ , mueve $24$ fuera de la integral.

$24 \int t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Paso 2

Sea $u_{1} = t^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = t^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 t$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$24 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

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Paso 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ como ${u_{1}}^{4}$ .

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{1}}^{3}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Paso 3.4

Combina $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ y $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$24 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $24$ .

$\frac{24}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $24$ y $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.4

Divide $12$ por $1$ .

$12 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 6.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ como ${u_{2}}^{2}$ .

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Paso 7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{2}$ .

$12 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 7.3

Combina $\frac{u_{2}}{2}$ y $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$12 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Paso 9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $12$ .

$\frac{12}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 9.2.2.4

Divide $6$ por $1$ .

$6 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 10

Sea $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Entonces $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Paso 10.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $- {u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$6 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Paso 11.2

Combina $e^{u_{3}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$6 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$6 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Paso 13

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- 6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Paso 15

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 6$ .

$\frac{- 6}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 15.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 15.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 15.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 15.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$- 3 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 16

La integral de $e^{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $e^{u_{3}}$ .

$- 3 (e^{u_{3}} + C)$

Paso 17

Simplifica.

$- 3 e^{u_{3}} + C$

Paso 18

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 18.1

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $- {u_{2}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {u_{2}}^{2}} + C$

Paso 18.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${u_{1}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

Paso 18.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t^{2}$ .

$- 3 e^{- {({(t^{2})}^{2})}^{2}} + C$