Cálculo Ejemplos

$\int 2 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.3

Multiplica $\int \sqrt{u} d u$ por $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$