Cálculo Ejemplos

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} + \frac{3}{y} d y$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{- 3}^{- 2} e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Paso 3

Sea $u = - 0.1 y$ . Entonces $d u = - 0.1 d y$ , de modo que $\frac{1}{- 0.1} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = - 0.1 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- 0.1 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 0.1 y]$

Paso 3.1.2

Como $- 0.1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 0.1 y$ con respecto a $y$ es $- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 0.1$ por $1$ .

$- 0.1$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = - 0.1 y$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot - 3$

Paso 3.3

Multiplica $- 0.1$ por $- 3$ .

$u_{lower} = 0.3$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = - 0.1 y$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot - 2$

Paso 3.5

Multiplica $- 0.1$ por $- 2$ .

$u_{upper} = 0.2$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0.3$

$u_{upper} = 0.2$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Paso 4.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{0.1}$ .

$2 \int_{0.3}^{0.2} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{0.1}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.1}$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{1}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{0.1}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Paso 8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Paso 10

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{y} d y$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $e^{u}$ en $0.2$ y en $0.3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Paso 12.2

Evalúa $\ln (| y |)$ en $- 2$ y en $- 3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 12.3

Elimina los paréntesis.

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 (\ln (| - 2 |) - \ln (| - 3 |))$

Paso 13

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Divide $2$ por $0.1$ .

$- 1 \cdot 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Paso 14.2

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$- 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Paso 14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 20 e^{0.2} - 20 (- e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Paso 14.4

Multiplica $- 1$ por $- 20$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Paso 14.5

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 2$ y $0$ es $2$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{| - 3 |})$

Paso 14.6

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 3$ y $0$ es $3$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Forma decimal:

$1.35272566 \dots$

Paso 16