Cálculo Ejemplos

$\int_{2 \sqrt{2}}^{4} \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

Paso 1

Sea $t = 2 \sec (t_{1})$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d t = 2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ es positiva.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1})) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \tan^{2} (t_{1})}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.6

Reescribe $4 \tan^{2} (t_{1})$ como ${(2 \tan (t_{1}))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \tan (t_{1}))}^{2}}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2 \tan (t_{1})$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2 \tan (t_{1})$ de ${(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $2 \tan (t_{1})$ de $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

Paso 2.2.1.3

Cancela el factor común.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) {(2 \sec (t_{1}))}^{3}} (2 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Paso 2.2.1.4

Reescribe la expresión.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Paso 2.2.2

Combina $\frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}}$ y $\sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $2$ de $2 \sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

Paso 2.2.3.2

Aplica la regla del producto a $2 (\sec (t_{1}))$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{2^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 2.2.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 2.2.3.4

Cancela el factor común de $\sec (t_{1})$ y $\sec^{3} (t_{1})$ .

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Paso 2.2.3.4.1

Multiplica por $1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 2.2.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.4.2.1

Factoriza $\sec (t_{1})$ de $8 \sec^{3} (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Paso 2.2.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Paso 2.2.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{8 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $t_{1}$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ como ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

Paso 4.3

Reescribe $\sec (t_{1})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

Paso 4.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

Paso 4.5

Multiplica $\cos (t_{1})$ por $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Paso 5

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{1}{16} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{16} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d t_{1} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Paso 10

Sea $u = 2 t_{1}$ . Entonces $d u = 2 d t_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = 2 t_{1}$ . Obtén $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t_{1}$ , la derivada de $2 t_{1}$ con respecto a $t_{1}$ es $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ es $n {t_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Sustituye el límite inferior por $t_{1}$ en $u = 2 t_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 10.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Paso 10.4

Sustituye el límite superior por $t_{1}$ en $u = 2 t_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Paso 10.5

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Paso 10.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Paso 10.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 11

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Paso 13

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $t_{1}$ en $\frac{π}{3}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Paso 14.2

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{2 π}{3}$ y en $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 14.3

Simplifica.

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Paso 14.3.1

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 14.3.2

Para escribir $- \frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 14.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 14.3.3.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 14.3.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 14.3.3.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 14.3.3.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 14.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 14.3.5

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 14.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 14.3.7

Resta $3 π$ de $4 π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

Paso 15.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

Paso 16.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Paso 16.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 16.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Paso 16.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Paso 16.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

Paso 16.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

Paso 16.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Paso 16.7

Simplifica.

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Paso 16.7.1

Multiplica $\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12}$ .

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Paso 16.7.1.1

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{π}{12}$ .

$\frac{π}{16 \cdot 12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Paso 16.7.1.2

Multiplica $16$ por $12$ .

$\frac{π}{192} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Paso 16.7.2

Multiplica $\frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

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Paso 16.7.2.1

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Paso 16.7.2.2

Multiplica $16$ por $4$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Paso 16.7.3

Multiplica $\frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 16.7.3.1

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{16 \cdot 2}$

Paso 16.7.3.2

Multiplica $16$ por $2$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Forma decimal:

$0.01217575 \dots$

Paso 18