Cálculo Ejemplos

$\int - 2 x e^{- x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- 2 \int x e^{- x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- 2 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$- 2 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica.

$- 2 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \frac{u_{2}}{2} + C$

Paso 5.2.3

Combina $2$ y $\frac{u_{2}}{2}$ .

$\frac{2 u_{2}}{2} + C$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u_{2}}{2} + C$

Paso 5.2.4.2

Divide $u_{2}$ por $1$ .

$u_{2} + C$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} + C$