Cálculo Ejemplos

$\int 2 x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 x)$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe ${\sqrt{- u}}^{2}$ como $- u$ .

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Paso 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- u}$ como ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.4.1

Cancela el factor común.

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$2 \int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3.1.5

Simplifica.

$2 \int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 \int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 3.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 3.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $u$ .

$2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Paso 3.6

Combina $\frac{u}{2}$ y $e^{u}$ .

$2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int u e^{u} d u$

Paso 5.3

Multiplica $\int u e^{u} d u$ por $1$ .

$\int u e^{u} d u$

Paso 6

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = e^{u}$ .

$u e^{u} - \int e^{u} d u$

Paso 7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$u e^{u} - (e^{u} + C)$

Paso 8

Simplifica.

$u e^{u} - e^{u} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2}$ .

$- x^{2} e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}} + C$