Cálculo Ejemplos

$\int 30 t^{5} e^{- t^{6}} d t$

Paso 1

Dado que $30$ es constante con respecto a $t$ , mueve $30$ fuera de la integral.

$30 \int t^{5} e^{- t^{6}} d t$

Paso 2

Sea $u_{1} = t^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = t^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 t$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$30 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$30 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{1}}^{2}$ .

$30 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 3.4

Combina $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ y $e^{- {u_{1}}^{3}}$ .

$30 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$30 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $30$ .

$\frac{30}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $30$ y $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{15}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.4

Divide $15$ por $1$ .

$15 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Entonces $d u_{2} = - 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- {u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{3}]$

Paso 6.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- {u_{1}}^{3}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2})$

Paso 6.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 {u_{1}}^{2}$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$15 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$15 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Paso 7.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$15 \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$15 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Paso 9

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$- 15 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- 15 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 15$ .

$\frac{- 15}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $- 15$ y $3$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$\frac{3 \cdot - 5}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 5}{3 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$- 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$- 5 (e^{u_{2}} + C)$

Paso 13

Simplifica.

$- 5 e^{u_{2}} + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- {u_{1}}^{3}$ .

$- 5 e^{- {u_{1}}^{3}} + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t^{2}$ .

$- 5 e^{- {(t^{2})}^{3}} + C$