Cálculo Ejemplos

$\int 3 x e^{0.5 x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x e^{0.5 x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = x e^{0.5 x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{x e^{0.5 x^{2}}} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $e^{0.5 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{0.5 x^{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 0.5 x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $0.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $0.5 x^{2}$ .

$e^{0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $0.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 (2 x))$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0.5$ .

$e^{0.5 x^{2}} (1 x)$

Paso 2.1.3.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{0.5 x^{2}} x$

Paso 2.1.3.3.3

Reordena los factores en $e^{0.5 x^{2}} x$ .

$x e^{0.5 x^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$3 \int d u_{2}$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$3 (u_{2} + C)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica.

$3 u_{2} + C$

Paso 4.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{0.5 x^{2}}$ .

$3 e^{0.5 x^{2}} + C$