Cálculo Ejemplos

$\int_{3}^{5} \frac{1}{\sqrt{x}} - 4 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{3}^{5} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{3}^{5} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Paso 2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{3}^{5} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{3}^{5} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{3}^{5} x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{3}^{5} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5} + - 4 x]_{3}^{5}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5}$ y $- 4 x]_{3}^{5}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 4 x]_{3}^{5}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $2 x^{\frac{1}{2}} - 4 x$ en $5$ y en $3$ .

$(2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 5) - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3)$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3)$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 12)$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - - 12$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - - 12$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 12$

Paso 5.3.2

Suma $- 20$ y $12$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 8 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 8 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Forma decimal:

$- 6.99196566 \dots$

Paso 7