Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Paso 2

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 x^{2}}} d x$

Paso 2.2

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

Paso 3

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 (\frac{1}{6})$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 (2)}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u)$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (u)$ .

$3 (\frac{1}{3} \arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}}{3}$

Paso 6.2

Combina $3$ y $\frac{\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

$\frac{3 (\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})}{3}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})}{3}$

Paso 6.3.2

Divide $\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

Paso 7

Evalúa $\arcsin (u)$ en $\frac{1}{2}$ y en $0$ .

$\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6} - \arcsin (0)$

Paso 8.1.2

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{π}{6} - 0$

Paso 8.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Paso 8.2

Suma $\frac{π}{6}$ y $0$ .

$\frac{π}{6}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{6}$

Forma decimal:

$0.52359877 \dots$

Paso 10