Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Entonces $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ , de modo que $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\arcsin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\arcsin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.2.1

Aplica la regla del producto a $4 (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.3.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.3.2.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.4

Combina $4$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$u_{lower} = \arcsin (0)$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

Paso 1.5.1.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

Paso 1.5.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 1.5.2

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ en $\frac{π}{6}$ y en $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 4.2.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Paso 4.2.3

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

Paso 4.2.4

Suma $\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

Paso 4.2.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Paso 4.2.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

Paso 5.2

Combinar.

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Paso 5.3

Multiplica $π^{2}$ por $1$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Paso 5.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

Paso 5.5

Multiplica $8$ por $36$ .

$\frac{π^{2}}{288}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π^{2}}{288}$

Forma decimal:

$0.03426945 \dots$