Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos (π x) d x$

Paso 1

Sea $u = π x$ . Entonces $d u = π d x$ , de modo que $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = π x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Paso 1.1.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $π$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Paso 1.5

Combina $π$ y $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Paso 2

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{π} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Paso 4

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Paso 5

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$\frac{1}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1}{π} (1 - \sin (0))$

Paso 6.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{π} (1 - 0)$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{π} (1 + 0)$

Paso 6.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot 1$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{1}{π}$ por $1$ .

$\frac{1}{π}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{π}$

Forma decimal:

$0.31830988 \dots$