Cálculo Ejemplos

$\int y^{2} {(1 + y)}^{2} d y$

Paso 1

Expande $y^{2} {(1 + y)}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + y)}^{2}$ como $(1 + y) (1 + y)$ .

$\int y^{2} ((1 + y) (1 + y)) d y$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int y^{2} (1 (1 + y) + y (1 + y)) d y$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)) d y$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Paso 1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Paso 1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Paso 1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Paso 1.8

Mueve $y^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Paso 1.9

Reordena $y^{2}$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Paso 1.10

Reordena $y$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (1 \cdot y) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Paso 1.11

Reordena $y^{2}$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + 1 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2} (y \cdot y) d y$

Paso 1.12

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Paso 1.13

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\int y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Paso 1.14

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Paso 1.15

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y^{1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Paso 1.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{2} + y^{2 + 1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Paso 1.17

Suma $2$ y $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Paso 1.18

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Paso 1.19

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y^{1} + y^{2} y \cdot y d y$

Paso 1.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2 + 1} + y^{2} y \cdot y d y$

Paso 1.21

Suma $2$ y $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y \cdot y d y$

Paso 1.22

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y^{1} y d y$

Paso 1.23

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2 + 1} y d y$

Paso 1.24

Suma $2$ y $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y d y$

Paso 1.25

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y^{1} d y$

Paso 1.26

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3 + 1} d y$

Paso 1.27

Suma $3$ y $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{4} d y$

Paso 1.28

Suma $y^{3}$ y $y^{3}$ .

$\int y^{2} + 2 y^{3} + y^{4} d y$

Paso 1.29

Reordena $2 y^{3}$ y $y^{4}$ .

$\int y^{2} + y^{4} + 2 y^{3} d y$

Paso 1.30

Mueve $y^{2}$ .

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{4} d y + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{4}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 \int y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int y^{2} d y$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{y^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$