Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 1 - \cos (2 x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) d x$

Paso 4

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{12}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (6)}$

Paso 4.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 6}$

Paso 4.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) d u)$

Paso 7

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $x$ en $\frac{π}{12}$ y en $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Paso 8.2

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{π}{6}$ y en $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{6})) - \sin (0))$

Paso 8.3

Suma $\frac{π}{12}$ y $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{6}) - \sin (0))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \sin (0))$

Paso 9.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0)$

Paso 9.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 9.4

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 9.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.01179938 \dots$