Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{x}{2}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{2}$

Paso 1.3

Divide $0$ por $2$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$u_{upper} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.5.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Paso 2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sec^{2} (u) d u$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

Paso 4

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Paso 5

Evalúa $\tan (u)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$2 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$2 (1 - \tan (0))$

Paso 6.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$2 (1 - 0)$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 (1 + 0)$

Paso 6.4

Suma $1$ y $0$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$