Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

Paso 1

Sea $u = 4 + r^{2}$ . Entonces $d u = 2 r d r$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 + r^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d r}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + r^{2}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Paso 1.1.3

Como $4$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $4$ con respecto a $r$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $2 r$ .

$2 r$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $r$ en $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $4$ y $0$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $r$ en $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Paso 1.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

Paso 5

Evalúa $\ln (| u |)$ en $4 + \frac{π^{2}}{4}$ y en $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ es aproximadamente $6.4674011$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Paso 7.1.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Paso 7.1.3

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Paso 7.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Paso 7.1.5

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Paso 7.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

Paso 7.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

Paso 7.4

Multiplica $\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{16 + π^{2}}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

Paso 7.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Forma decimal:

$0.24023999 \dots$

Paso 9