Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

Paso 1

Sea $u = \sin (t)$ . Entonces $d u = \cos (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \sin (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

Paso 2

Sea $u = \tan (t_{1})$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t_{1})$ es positiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ .

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Paso 3.1.1

Reorganiza los términos.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Paso 3.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Paso 3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $\sec (t_{1})$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $\sec (t_{1})$ de $\sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Paso 4

La integral de $\sec (t_{1})$ con respecto a $t_{1}$ es $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Paso 5

Evalúa $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 6.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 6.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Paso 6.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Paso 6.5

Suma $1$ y $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 6.6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.1.1.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.1.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.1.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ es aproximadamente $2.41421356$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Paso 7.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Paso 7.3

Divide $\sqrt{2} + 1$ por $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Forma decimal:

$0.88137358 \dots$