Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Paso 1

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Paso 1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{0} - u^{2} d u$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0})$

Paso 4

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0})$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{u^{3}}{3}$ en $0$ y en $1$ .

$- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 5.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- (0 - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 5.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (0 - \frac{1}{3})$

Paso 5.2.4

Resta $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$- - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

Paso 5.2.6

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$