Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) d x$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Paso 1.2

Reescribe ${\sin (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Paso 2

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

$2$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 3.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

$u_{upper} = π$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

$\int_{0}^{π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 5

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ como un producto.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Paso 5.2

Expande ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ .

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Paso 5.2.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.7

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.8

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.9

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.10

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.11

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.12

Mueve los paréntesis.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.13

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.14

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.15

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.16

Mueve $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.17

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.18

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 5.2.19

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 5.2.20

Mueve los paréntesis.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.21

Mueve $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.22

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.23

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.24

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.25

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.26

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.27

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.28

Combina $- \frac{1}{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.29

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.30

Combina $\frac{1}{4}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.31

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.32

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.33

Combina $- \frac{\cos (u_{1})}{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.34

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.35

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.36

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.37

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.38

Multiplica $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.39

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.40

Combina $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 5.2.41

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 5.2.42

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 5.2.43

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Paso 5.2.44

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 5.2.45

Resta $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ de $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 5.2.46

Combina $- 2$ y $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 5.2.47

Reordena $\frac{- 2 \cos (u_{1})}{4}$ y $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 5.2.48

Reordena $\frac{1}{4}$ y $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 5.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Paso 5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 (2)} d u_{1}$

Paso 5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Paso 5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 8

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 11

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 13

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 13.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 13.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 13.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 13.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

$2$

Paso 13.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 13.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 13.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 π$

Paso 13.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Paso 13.6

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 14

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 15

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 16

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 17

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \int_{0}^{π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 18

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 19

Combina $\frac{1}{4}$ y $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 20

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 21

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{1}) d u_{1}))$

Paso 22

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{π})$

Paso 23

Simplifica.

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Paso 23.1

Combina $\sin (u_{1})]_{0}^{π}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π} - \frac{\sin (u_{1})]_{0}^{π}}{2})$

Paso 23.2

Para escribir $\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (u_{1})]_{0}^{π}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Paso 23.3

Combina $\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2})$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (u_{1})]_{0}^{π}}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Paso 23.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) \cdot 2 - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Paso 23.5

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{2}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Paso 23.6

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 23.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{2 (1)}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Paso 23.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 23.6.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Paso 23.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Paso 23.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Paso 24

Sustituye y simplifica.

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Paso 24.1

Evalúa $u_{1}$ en $π$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((π) + 0 + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Paso 24.2

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $2 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((π) + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}) - (\sin (u_{1})]_{0}^{π})}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Paso 24.3

Evalúa $\sin (u_{1})$ en $π$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((π) + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}) - ((\sin (π)) - \sin (0))}{2} + \frac{u_{1}}{4}]_{0}^{π})$

Paso 24.4

Evalúa $\frac{u_{1}}{4}$ en $π$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} ((π) + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}) - ((\sin (π)) - \sin (0))}{2} + (\frac{π}{4}) - \frac{0}{4})$

Paso 24.5

Simplifica.

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Paso 24.5.1

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}) - ((\sin (π)) - \sin (0))}{2} + (\frac{π}{4}) - \frac{0}{4})$

Paso 24.5.2

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 24.5.2.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Paso 24.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 24.5.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Paso 24.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Paso 24.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - \frac{0}{1})$

Paso 24.5.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - 0)$

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - 0)$

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} - 0)$

Paso 24.5.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4} + 0)$

Paso 24.5.4

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4})$

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4})$

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 25

Simplifica.

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Paso 25.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - 0}{2}) - (\sin (π) - \sin (0))}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 25.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) - 0}{2}) - (\sin (π) - 0)}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 25.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π) + 0}{2}) - (\sin (π) - 0)}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 25.4

Suma $\sin (2 π)$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}) - (\sin (π) - 0)}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 25.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}) - (\sin (π) + 0)}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 25.6

Suma $\sin (π)$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}) - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}) - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 26

Simplifica.

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Paso 26.1

Simplifica cada término.

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Paso 26.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 26.1.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{\sin (0)}{2}) - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 26.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{0}{2}) - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + \frac{0}{2}) - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 26.1.2

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + 0) - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} (π + 0) - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 26.2

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{1}{4} π - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 26.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{π}{4} - \sin (π)}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 26.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{π}{4} - \sin (0)}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 26.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{π}{4} - 0}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 26.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{π}{4} + 0}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 26.7

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 26.8

Simplifica cada término.

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Paso 26.8.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 26.8.2

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 26.8.2.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4 \cdot 2} + \frac{π}{4})$

Paso 26.8.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{π}{4})$

$\frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{π}{4})$

$\frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{π}{4})$

Paso 26.9

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{π}{4} \cdot \frac{2}{2})$

Paso 26.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 26.10.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 2}{4 \cdot 2})$

Paso 26.10.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 2}{8})$

$\frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 2}{8})$

Paso 26.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + π \cdot 2}{8}$

Paso 26.12

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + 2 \cdot π}{8}$

Paso 26.13

Suma $π$ y $2 π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 π}{8}$

Paso 26.14

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 π}{8}$ .

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Paso 26.14.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3 π}{8}$ .

$\frac{3 π}{2 \cdot 8}$

Paso 26.14.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{3 π}{16}$

$\frac{3 π}{16}$

$\frac{3 π}{16}$

Paso 27

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 π}{16}$

Forma decimal:

$0.58904862 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$