Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x$

Paso 2

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1.1

Evalúa $x \sin (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Paso 3.1.2

Evalúa $- \cos (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Combina $\frac{π}{2}$ y $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Paso 3.1.3.3

Suma $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ y $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Paso 3.1.3.4

Para escribir $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.1.3.5

Combina $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Paso 3.1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Paso 3.1.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Paso 3.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{2}$

Paso 3.2.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{2}$

Paso 3.2.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{2}$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{2}$

Paso 3.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{π - 2 \cdot 1}{2}$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{π - 2}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π - 2}{2}$

Forma decimal:

$0.57079632 \dots$