Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (2 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x)$

Paso 4

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 4.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Paso 8

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$(\frac{\frac{π}{2} \sin (2 \frac{π}{2})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Paso 9.2

Evalúa $- \cos (u)$ en $π$ y en $0$ .

$(\frac{\frac{π}{2} \sin (2 \frac{π}{2})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Combina $2$ y $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{π}{2} \sin (\frac{2 π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{π}{2} \sin (\frac{2 π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.2.2

Divide $π$ por $1$ .

$\frac{\frac{π}{2} \sin (π)}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.3

Combina $\frac{π}{2}$ y $\sin (π)$ .

$\frac{\frac{π \sin (π)}{2}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.4

Reescribe $\frac{\frac{π \sin (π)}{2}}{2}$ como un producto.

$\frac{π \sin (π)}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.5

Multiplica $\frac{π \sin (π)}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π \sin (π)}{2 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.7

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.8

Multiplica $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.9

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 9.3.9.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.11

Suma $\frac{π \sin (π)}{4}$ y $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.12

Para escribir $- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Paso 9.3.13

Combina $- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 4}{4}$

Paso 9.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 4}{4}$

Paso 9.3.15

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{π \sin (π) - 4 (\frac{1}{4}) (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Paso 9.3.16

Combina $- 4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{- 4}{4} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Paso 9.3.17

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 9.3.17.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Paso 9.3.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.17.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Paso 9.3.17.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Paso 9.3.17.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π \sin (π) + \frac{- 1}{1} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Paso 9.3.17.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Paso 10

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Paso 11.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Paso 11.3

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{0 - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Paso 11.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{0 - (- - \cos (0) + 1)}{4}$

Paso 11.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{4}$

Paso 11.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 - (- - 1 + 1)}{4}$

Paso 11.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0 - (1 + 1)}{4}$

Paso 11.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 2}{4}$

Paso 11.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2}{4}$

Paso 11.10

Reduce la expresión $\frac{0 - 2}{4}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 11.10.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0) - 2}{4}$

Paso 11.10.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{4}$

Paso 11.10.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{4}$

Paso 11.10.4

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (2)}$

Paso 11.10.5

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 2}$

Paso 11.10.6

Reescribe la expresión.

$\frac{0 - 1}{2}$

Paso 11.11

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Paso 11.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$