Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} {(\cos (x) + \sec (x))}^{2} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\cos (x) + \sec (x))}^{2}$ como $(\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} (\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

Paso 1.2

Expande $(\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) (\cos (x) + \sec (x)) + \sec (x) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 1.3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 1.3.1.2

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.2.1

Reordena $\cos (x)$ y $\sec (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 1.3.1.2.2

Reescribe $\cos (x) \sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 1.3.1.2.3

Cancela los factores comunes.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 1.3.1.3

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.3.1

Reescribe $\sec (x) \cos (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 1.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $\sec (x) \sec (x)$ .

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Paso 1.3.1.4.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Paso 1.3.1.4.2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) d x$

Paso 1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + {\sec (x)}^{1 + 1} d x$

Paso 1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{2} (x) d x$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 2 + \sec^{2} (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 3

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 7

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Paso 7.5

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 8

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 10

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 12

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Paso 13

Combina $2 x]_{0}^{\frac{π}{3}}$ y $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $x$ en $\frac{π}{3}$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Paso 14.2

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{2 π}{3}$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Paso 14.3

Evalúa $2 x + \tan (x)$ en $\frac{π}{3}$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + (2 \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

Paso 14.4

Simplifica.

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Paso 14.4.1

Suma $\frac{π}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + (2 \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

Paso 14.4.2

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

Paso 14.4.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0))$

Paso 14.4.4

Suma $0$ y $\tan (0)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0)$

Paso 15.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0)$

Paso 15.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

Paso 15.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

Paso 15.5

Suma $\sin (\frac{2 π}{3})$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 π}{3})) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

Paso 15.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

Paso 15.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} + 0$

Paso 15.8

Suma $\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.1.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 16.1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

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Paso 16.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

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Paso 16.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.5

Para escribir $\frac{2 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

Paso 16.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 16.6.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

Paso 16.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

Paso 16.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

Paso 16.8

Para escribir $\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

Paso 16.9

Para escribir $\frac{\sqrt{3}}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $24$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 16.10.1

Multiplica $\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.10.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16.10.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{8 \cdot 3} + \sqrt{3}$

Paso 16.10.4

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{24} + \sqrt{3}$

Paso 16.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4 + \sqrt{3} \cdot 3}{24} + \sqrt{3}$

Paso 16.12

Reordena los términos.

$\frac{4 (π + 2 π \cdot 2) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3}$

Paso 16.13

Combina $\frac{4 (π + 2 π \cdot 2) + 3 \sqrt{3}}{24}$ y $\sqrt{3}$ mediante un denominador común.

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Paso 16.13.1

Mueve $π$ .

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3}$

Paso 16.13.2

Para escribir $\sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{24}{24}$ .

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3} \cdot \frac{24}{24}$

Paso 16.13.3

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{24}{24}$ .

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 24}{24}$

Paso 16.13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 24}{24}$

Paso 16.14

Reordena los factores de $\sqrt{3} \cdot 24$ .

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{24}$

Paso 16.15

Suma $3 \sqrt{3}$ y $24 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 27 \sqrt{3}}{24}$

Paso 16.16

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 (π + 4 π) + 27 \sqrt{3}}{24}$

Paso 16.17

Suma $π$ y $4 π$ .

$\frac{4 \cdot 5 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

Paso 17

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{20 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

Paso 18

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{20 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

Forma decimal:

$4.56655103 \dots$