Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x^{2}) d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Paso 1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π}{2})}^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Paso 1.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) d u$

Paso 4

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π^{2}}{4}}$

Paso 5

Evalúa $- \cos (u)$ en $\frac{π^{2}}{4}$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + \cos (0))$

Paso 6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + 1)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\cos (\frac{π^{2}}{4})$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.78121189 + 1)$

Paso 7.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.78121189$ .

$\frac{1}{2} (0.78121189 + 1)$

Paso 7.3

Suma $0.78121189$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.78121189$

Paso 7.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $1.78121189$ .

$\frac{1.78121189}{2}$

Paso 7.5

Divide $1.78121189$ por $2$ .

$0.89060594$