Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x + 4}{x^{2} + 5 x - 6} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2} + 5 x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $5$ .

$- 1, 6$

Paso 1.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 4}{(x - 1) (x + 6)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 6}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 1) (x + 6)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 1) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (x - 1) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 4) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.1.6.2

Divide $x + 4$ por $1$ .

$x + 4 = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$x + 4 = \frac{A (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (x + 6)$ por $1$ .

$x + 4 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 4 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $6$ a la izquierda de $A$ .

$x + 4 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.1.7.4

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x + 4 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.1.7.4.2

Divide $(B) (x - 1)$ por $1$ .

$x + 4 = A x + 6 A + (B) (x - 1)$

Paso 1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 4 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 1$

Paso 1.1.7.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$x + 4 = A x + 6 A + B x - 1 \cdot B$

Paso 1.1.7.7

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$x + 4 = A x + 6 A + B x - B$

Paso 1.1.8

Mueve $6 A$ .

$x + 4 = A x + B x + 6 A - B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = 6 A - 1 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$4 = 6 A - 1 B$

$1 = A + B$

$4 = 6 A - 1 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$4 = 6 A - 1 B$

Paso 1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$4 = 6 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 A - 1 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $4 = 6 A - 1 B$ por $1 - B$ .

$4 = 6 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $6 (1 - B) - 1 B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 = 6 \cdot 1 + 6 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$4 = 6 + 6 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$4 = 6 - 6 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.4

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$4 = 6 - 6 B - B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 6 B - B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.2

Resta $B$ de $- 6 B$ .

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $4 = 6 - 7 B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $6 - 7 B = 4$ .

$6 - 7 B = 4$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- 7 B = 4 - 6$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $6$ de $4$ .

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - B$

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $- 7 B = - 2$ por $- 7$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $- 7 B = - 2$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 7$ .

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Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{2}{7}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 - (\frac{2}{7})$

$B = \frac{2}{7}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $1 - (\frac{2}{7})$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{7}{7} - \frac{2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Paso 1.3.4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{7 - 2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Paso 1.3.4.2.1.3

Resta $2$ de $7$ .

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{5}{7}, B = \frac{2}{7}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 6}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{5}{7}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{5}{7}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Paso 1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{x + 6}$

Paso 1.5.4

Multiplica $\frac{2}{7}$ por $\frac{1}{x + 6}$ .

$\int \frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{5}{7 (x - 1)} d x + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{5}{7}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{5}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{7} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = x - 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{5}{7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{2}{7}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{x + 6} d x$

Paso 7

Sea $u_{2} = x + 6$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = x + 6$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 7.1.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{5}{7} \ln (| u_{1} |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$\frac{5}{7} \ln (| x - 1 |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 6$ .

$\frac{5}{7} \ln (| x - 1 |) + \frac{2}{7} \ln (| x + 6 |) + C$