Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{3 - 2 x - x^{2}} d x$

Paso 1

Completa el cuadrado.

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Paso 1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1

Mueve $3$ .

$- 2 x - x^{2} + 3$

Paso 1.1.2

Reordena $- 2 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} - 2 x + 3$

Paso 1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = 3$

Paso 1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Paso 1.4.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 1$ como $- - 1$ .

$d = - - 1$

Paso 1.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$d = 1$

Paso 1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 3 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 3 - \frac{4}{- 4}$

Paso 1.5.2.1.3

Divide $4$ por $- 4$ .

$e = 3 - - 1$

Paso 1.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 3 + 1$

Paso 1.5.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$e = 4$

Paso 1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + 1)}^{2} + 4$ .

$\int \sqrt{- {(x + 1)}^{2} + 4} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 4} d u_{1}$

Paso 3

Sea $u_{1} = 2 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{- {(2 \sin (t))}^{2} + 4} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica $\sqrt{- {(2 \sin (t))}^{2} + 4}$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{- (2^{2} \sin^{2} (t)) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \sqrt{- (4 \sin^{2} (t)) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{- 4 \sin^{2} (t) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.2

Reordena $- 4 \sin^{2} (t)$ y $4$ .

$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.3

Factoriza $4$ de $4$ .

$\int \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.4

Factoriza $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.5

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.7

Reescribe $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 4.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 4.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int 4 \cos^{2} (t) d t$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \cos^{2} (t) d t$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$2 (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 11

Sea $u_{2} = 2 t$ . Entonces $d u_{2} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 11.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 12

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 14

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$2 (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 15

Simplifica.

$2 (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{u_{1}}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{u_{1}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$2 (\arcsin (\frac{u_{1}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 16.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 16.4

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{u_{1}}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{2}))) + C$

Paso 16.5

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))) + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2}) + C$

Paso 17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2} + C$

Paso 17.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.3.1

Cancela el factor común.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2} + C$

Paso 17.3.2

Reescribe la expresión.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2})) + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$2 \arcsin (\frac{1}{2} (x + 1)) + \sin (2 \arcsin (\frac{1}{2} (x + 1))) + C$