Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} \cos (2 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \cos (2 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2} \cdot 2$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \sin (2 x) (x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x)$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (1 \int \sin (2 x) (x) d x)$

Paso 4.3

Multiplica $\int \sin (2 x) (x) d x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) (x) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Paso 6.3

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Paso 8.2

Multiplica $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Paso 10

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 11

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Paso 13.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Paso 14

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Reescribe $\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ como $\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Paso 15.2

Simplifica.

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Paso 15.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Paso 15.2.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Paso 15.2.3

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Paso 15.2.4

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Paso 15.2.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Paso 15.2.6

Para escribir $- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 15.2.7

Combina $- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 15.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 15.2.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2}) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 17.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos (2 x) x}{2}$ al numerador.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 17.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 2 (- 1) \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 17.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 17.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - (- \cos (2 x) x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 17.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 1 (\cos (2 x) x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 17.4

Multiplica $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 17.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 (- 1) \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Paso 17.5.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Paso 17.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Paso 17.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Paso 17.6

Reordena los factores en $\cos (2 x) x - \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + x \cos (2 x) - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Simplifica el numerador.

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Paso 18.1.1

Para escribir $x^{2} \sin (2 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) + x^{2} \sin (2 x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Paso 18.1.2

Combina $x^{2} \sin (2 x)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Paso 18.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x \cos (2 x) + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Paso 18.1.4

Para escribir $x \cos (2 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Paso 18.1.5

Combina $x \cos (2 x)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x \cos (2 x) \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Paso 18.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Paso 18.1.7

Reescribe $\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}$ en forma factorizada.

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Paso 18.1.7.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x \cos (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (x \cos (2 x)) + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Paso 18.1.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} \sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Paso 18.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2} \cdot \frac{1}{2} + C$

Paso 18.3

Multiplica $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 18.3.1

Multiplica $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 18.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{4} + C$

Paso 18.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) + C$