Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} \cos (4 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \cos (4 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sin (4 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4} \cdot 2$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int \sin (4 x) (x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2}{4} \int \sin (4 x) (x) d x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int \sin (4 x) (x) d x)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} \int \sin (4 x) (x) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (4 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\cos (4 x)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

Paso 6.3

Combina $\cos (4 x)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - - \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Paso 8.2

Multiplica $\int \frac{\cos (4 x)}{4} d x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

Paso 10

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 10.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u)$

Paso 11

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u)$

Paso 13.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u)$

Paso 14

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Reescribe $\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C))$ como $\frac{1}{4} x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{4} x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

Paso 15.2

Simplifica.

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Paso 15.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

Paso 15.2.2

Combina $\frac{x^{2}}{4}$ y $\sin (4 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

Paso 15.2.3

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

Paso 15.2.4

Combina $\cos (4 x)$ y $\frac{x}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

Paso 15.2.5

Combina $\frac{1}{16}$ y $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) + C$

Paso 15.2.6

Para escribir $- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Paso 15.2.7

Combina $- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Paso 15.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Paso 15.2.9

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 4 (\frac{1}{2}) (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Paso 15.2.10

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{- 4}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Paso 15.2.11

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 15.2.11.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Paso 15.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Paso 15.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Paso 15.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Paso 15.2.11.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16})}{4} + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4}) - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Paso 17.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos (4 x) x}{4}$ al numerador.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 \frac{- \cos (4 x) x}{4} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Paso 17.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 (- 1) \frac{- \cos (4 x) x}{4} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Paso 17.2.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x) x}{2 \cdot 2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Paso 17.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x) x}{2 \cdot 2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Paso 17.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Paso 17.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 (- 1) \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Paso 17.3.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

Paso 17.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

Paso 17.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 17.4

Simplifica cada término.

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Paso 17.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - - \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 17.4.2

Multiplica $- - \frac{\cos (4 x) x}{2}$ .

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Paso 17.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 1 \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 17.4.2.2

Multiplica $\frac{\cos (4 x) x}{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 17.5

Reordena los factores en $\frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{x \cos (4 x)}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Simplifica el numerador.

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Paso 18.1.1

Para escribir $x^{2} \sin (4 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + x^{2} \sin (4 x) \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 18.1.2

Combina $x^{2} \sin (4 x)$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 18.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 18.1.4

Para escribir $\frac{x \cos (4 x)}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 18.1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 18.1.5.1

Multiplica $\frac{x \cos (4 x)}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 18.1.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4}{8} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 18.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4 + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 18.1.7

Reescribe $\frac{x \cos (4 x) \cdot 4 + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}$ en forma factorizada.

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Paso 18.1.7.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x \cos (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 \cdot (x \cos (4 x)) + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 18.1.7.2

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{2} \sin (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Paso 18.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4} + C$

Paso 18.3

Multiplica $\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 18.3.1

Multiplica $\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

Paso 18.3.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{32} + C$

Paso 18.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{32} (4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)) + C$