Cálculo Ejemplos

$\int e^{6 x} \cos (5 x) d x$

Paso 1

Reordena $e^{6 x}$ y $\cos (5 x)$ .

$\int \cos (5 x) e^{6 x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (5 x)$ y $d v = e^{6 x}$ .

$\cos (5 x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (- 5 \sin (5 x)) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{6} \cdot - 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{6} \cdot - 5$ fuera de la integral.

$\cos (5 x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - (\frac{1}{6} \cdot - 5 \int e^{6 x} (\sin (5 x)) d x)$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $e^{6 x}$ .

$\cos (5 x) \frac{e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \cdot - 5 \int e^{6 x} (\sin (5 x)) d x)$

Paso 4.2

Combina $\cos (5 x)$ y $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \cdot - 5 \int e^{6 x} (\sin (5 x)) d x)$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{6}$ y $- 5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} \int e^{6 x} (\sin (5 x)) d x)$

Paso 4.4

Reordena $e^{6 x}$ y $\sin (5 x)$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} \int \sin (5 x) e^{6 x} d x)$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (5 x)$ y $d v = e^{6 x}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} (\sin (5 x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (5 \cos (5 x)) d x))$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{6} \cdot 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{6} \cdot 5$ fuera de la integral.

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} (\sin (5 x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - (\frac{1}{6} \cdot 5 \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $e^{6 x}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} (\sin (5 x) \frac{e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \cdot 5 \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Paso 7.2

Combina $\sin (5 x)$ y $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} (\frac{\sin (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \cdot 5 \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Paso 7.3

Combina $\frac{1}{6}$ y $5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{- 5}{6} (\frac{\sin (5 x) e^{6 x}}{6} - (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{- 5}{6} \cdot \frac{\sin (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{- 5}{6} (- (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x))$

Paso 7.5

Multiplica $\frac{\sin (5 x) e^{6 x}}{6}$ por $\frac{- 5}{6}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{6 \cdot 6} - \frac{- 5}{6} (- (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x))$

Paso 7.6

Multiplica.

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Paso 7.6.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} - \frac{- 5}{6} (- (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x))$

Paso 7.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} + 1 (\frac{- 5}{6}) (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)$

Paso 7.6.3

Multiplica $\frac{- 5}{6}$ por $1$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} + \frac{- 5}{6} (\frac{5}{6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x)$

Paso 7.7

Multiplica $\frac{5}{6}$ por $\frac{- 5}{6}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} + \frac{5 \cdot - 5}{6 \cdot 6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x$

Paso 7.8

Multiplica.

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Paso 7.8.1

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} + \frac{- 25}{6 \cdot 6} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x$

Paso 7.8.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36} + \frac{- 25}{36} \int e^{6 x} (\cos (5 x)) d x$

Paso 8

Al resolver $\int e^{6 x} \cos (5 x) d x$ , obtenemos que $\int e^{6 x} \cos (5 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36}}{\frac{61}{36}}$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{\sin (5 x) e^{6 x} \cdot - 5}{36}}{\frac{61}{36}} + C$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Mueve $- 5$ a la izquierda de $\sin (5 x) e^{6 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - \frac{- 5 \cdot (\sin (5 x) e^{6 x})}{36}}{\frac{61}{36}} + C$

Paso 9.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} - - \frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}}{\frac{61}{36}} + C$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} + 1 \frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}}{\frac{61}{36}} + C$

Paso 9.1.4

Multiplica $\frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} + \frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}}{\frac{61}{36}} + C$

Paso 9.1.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{61}{36}$ .

$(\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} + \frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}) \frac{36}{61} + C$

Paso 9.2

Reescribe $(\frac{\cos (5 x) e^{6 x}}{6} + \frac{5 \sin (5 x) e^{6 x}}{36}) \frac{36}{61} + C$ como $(\frac{1}{6} \cos (5 x) e^{6 x} + \frac{5}{36} \sin (5 x) e^{6 x}) \frac{36}{61} + C$ .

$(\frac{1}{6} \cos (5 x) e^{6 x} + \frac{5}{36} \sin (5 x) e^{6 x}) \frac{36}{61} + C$