Cálculo Ejemplos

$\int e^{\sin (π x)} \cos (π x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \sin (π x)$ . Entonces $d u_{2} = π \cos (π x) d x$ , de modo que $\frac{1}{π} d u_{2} = \cos (π x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \sin (π x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $π x$ .

$\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (π x) (π \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\cos (π x) π$

Paso 1.1.3.3.2

Reordena los factores de $\cos (π x) π$ .

$π \cos (π x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int e^{u_{2}} \frac{1}{π} d u_{2}$

Paso 2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{π} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{1}{π} e^{u_{2}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{π} e^{\sin (π x)} + C$