Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

Paso 2

Sea $u = \frac{x}{3}$ . Entonces $d u = \frac{1}{3} d x$ , de modo que $3 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \frac{x}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2.1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

Paso 3.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

Paso 3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\cot (u)$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

Paso 5

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

Paso 6

La integral de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sin (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Paso 7

Evalúa $\ln (| \sin (u) |)$ en $\frac{π}{3}$ y en $\frac{π}{6}$ .

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Paso 8.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

Paso 8.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ es aproximadamente $0.8660254$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

Paso 9.2

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.4.1

Cancela el factor común.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Paso 9.4.2

Reescribe la expresión.

$6 \ln (\sqrt{3})$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$6 \ln (\sqrt{3})$

Forma decimal:

$3.29583686 \dots$