Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln (x)}{x \sqrt{1 + \ln (x)}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{\ln (e^{u - 1})}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Simplifica.

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Paso 2.1.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $u - 1$ fuera del exponente.

$\int \frac{(u - 1) \ln (e)}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.1.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\int \frac{(u - 1) \cdot 1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.1.3

Multiplica $u - 1$ por $1$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Expande $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.6

Resta $1$ de $2$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \ln (x)$ .

$\frac{2}{3} {(1 + \ln (x))}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 + \ln (x))}^{\frac{1}{2}} + C$