Cálculo Ejemplos

$\int e^{- x} \sin (4 x) d x$

Paso 1

Reordena $e^{- x}$ y $\sin (4 x)$ .

$\int \sin (4 x) e^{- x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (4 x)$ y $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 \cos (4 x)) d x$

Paso 3

Dado que $- 1 \cdot 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1 \cdot 4$ fuera de la integral.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Paso 4.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x$

Paso 4.3

Reordena $e^{- x}$ y $\cos (4 x)$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int \cos (4 x) e^{- x} d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (4 x)$ y $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

Paso 6

Dado que $- - 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- - 4$ fuera de la integral.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (- - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Paso 7

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Paso 7.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Paso 7.4

Multiplica.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Paso 7.4.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) - 16 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x$

Paso 8

Al resolver $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ , obtenemos que $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17}$ .

$\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17} + C$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ como $\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ .

$\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

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Paso 9.2.1.1.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- \sin (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Paso 9.2.1.1.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Paso 9.2.1.1.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Paso 9.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x)$ .

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Paso 9.2.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Paso 9.2.1.2.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 \cos (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x)))}{17} + C$

Paso 9.2.1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)))}{17} + C$

$\frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Paso 9.2.1.3

Factoriza el negativo.

$\frac{- e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{17} e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)) + C$