Cálculo Ejemplos

$\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$

Paso 1

Reordena $e^{- 2 x}$ y $\sin (2 x)$ .

$\int \sin (2 x) e^{- 2 x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (2 x)$ y $d v = e^{- 2 x}$ .

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 \cos (2 x)) d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{2} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{2} \cdot 2$ fuera de la integral.

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 4.2

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 4.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 4.5

Reordena $e^{- 2 x}$ y $\cos (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 x) e^{- 2 x} d x)$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (2 x)$ y $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (- 2 \sin (2 x)) d x))$

Paso 6

Dado que $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ fuera de la integral.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Paso 7.2

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Paso 7.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Paso 7.4

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Paso 7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}) - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Paso 7.6

Multiplica.

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Paso 7.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{- 2}{2}) \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Paso 7.6.2

Multiplica $\frac{- 2}{2}$ por $1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2}{2} \cdot \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Paso 7.7

Multiplica $\frac{- 2}{2}$ por $\frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Paso 7.8

Multiplica.

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Paso 7.8.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Paso 7.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + 1 (\frac{- 2}{2}) (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

Paso 7.8.3

Multiplica $\frac{- 2}{2}$ por $1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 2}{2} (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

Paso 7.9

Multiplica $\frac{2}{2}$ por $\frac{- 2}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Paso 7.10

Multiplica.

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Paso 7.10.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Paso 7.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Paso 8

Al resolver $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ , obtenemos que $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}}$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 9.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (2 x) e^{- 2 x}$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Paso 9.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 (2)}}{\frac{8}{4}} + C$

Paso 9.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

Paso 9.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- \cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

Paso 9.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

Paso 9.1.3

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 9.1.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

Paso 9.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

Paso 9.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

Paso 9.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

Paso 9.1.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$

Paso 9.2

Reescribe $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Paso 9.3.2

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Paso 9.3.3

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{\cos (2 x)}{2} e^{- 2 x}) + C$

Paso 9.3.4

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Paso 9.4

Simplifica.

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Paso 9.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Paso 9.4.2

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2})$ .

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Paso 9.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Paso 9.4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Paso 9.4.3

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2})$ .

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Paso 9.4.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 9.4.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{4} + C$

Paso 9.5

Elimina los paréntesis.

$- \frac{1}{4} e^{- 2 x} \sin (2 x) - \frac{1}{4} e^{- 2 x} \cos (2 x) + C$