Cálculo Ejemplos

$\int \cos^{3} (6 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 6 x$ . Entonces $d u_{1} = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 6 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\cos^{3} (u_{1})$ y $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{6} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Factoriza $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (u_{1})$ como $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{6} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{6} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{1}{6} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x$ .

$\frac{1}{6} (\sin (6 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (6 x)) + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\sin^{3} (6 x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\sin (6 x) - \frac{\sin^{3} (6 x)}{3}) + C$

Paso 13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} \sin (6 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin^{3} (6 x)}{3}) + C$

Paso 13.3

Combina $\frac{1}{6}$ y $\sin (6 x)$ .

$\frac{\sin (6 x)}{6} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin^{3} (6 x)}{3}) + C$

Paso 13.4

Multiplica $\frac{1}{6} (- \frac{\sin^{3} (6 x)}{3})$ .

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Paso 13.4.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{\sin^{3} (6 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (6 x)}{6} - \frac{\sin^{3} (6 x)}{6 \cdot 3} + C$

Paso 13.4.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{\sin (6 x)}{6} - \frac{\sin^{3} (6 x)}{18} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$\frac{1}{6} \sin (6 x) - \frac{1}{18} \sin^{3} (6 x) + C$