Cálculo Ejemplos

$\int \cos^{7} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\cos^{6} (x)$ .

$\int \cos^{6} (x) \cos (x) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (3)} \cos (x) d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\cos (x)}^{2 (3)}$ como exponenciación.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

Paso 4

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

$\cos (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Paso 5

Expande ${(1 - u^{2})}^{3}$ .

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Paso 5.1

Usa el teorema del binomio.

$\int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Paso 5.2

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Paso 5.3

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Paso 5.4

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Paso 5.5

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

Paso 5.6

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

Paso 5.7

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.8

Mueve $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.9

Mueve los paréntesis.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.10

Mueve los paréntesis.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.11

Mueve $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Paso 5.12

Mueve los paréntesis.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Paso 5.13

Mueve los paréntesis.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.14

Mueve $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.15

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.16

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.17

Multiplica $3$ por $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.18

Multiplica $3$ por $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.19

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.20

Multiplica $3$ por $1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.21

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.22

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.23

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.24

Suma $2$ y $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.25

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.26

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.27

Factoriza el negativo.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

Paso 5.28

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

Paso 5.29

Suma $2$ y $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

Paso 5.30

Factoriza el negativo.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

Paso 5.31

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

Paso 5.32

Suma $4$ y $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Paso 5.33

Reordena $1$ y $- 3 u^{2}$ .

$\int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Paso 5.34

Mueve $1$ .

$\int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

Paso 5.35

Reordena $- 3 u^{2}$ y $3 u^{4}$ .

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

Paso 5.36

Mueve $1$ .

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

Paso 5.37

Mueve $- 3 u^{2}$ .

$\int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

Paso 5.38

Reordena $3 u^{4}$ y $- u^{6}$ .

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Paso 9

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Paso 11

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica.

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Paso 14.1.1

Combina $\frac{1}{7}$ y $u^{7}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Paso 14.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Paso 14.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Paso 14.2

Simplifica.

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin^{7} (x)}{7} + \frac{3 \sin^{5} (x)}{5} - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$- \frac{1}{7} \sin^{7} (x) + \frac{3}{5} \sin^{5} (x) - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$